дипломная работа

1.1 Понятие конформного отображения и его основные свойства

Взаимно однозначное отображение, обладающее свойством сохранения углов по величине и направлению и свойством постоянства растяжений малых окрестностей отображенных точек, называется конформным отображением.

Для обеспечения взаимной однозначности отражения выделяют области однолистности функции. Область D называется областью однолистности функции f(z), если.

Основные свойства конформных отображений:

1) постоянство растяжений. Линейное в точке одинаково для всех кривых, проходящих через эту точку, и равно;

2) сохранение углов. Все кривые в точке поворачиваются на одинаковый угол, равный.

Функция отображает точки z- плоскости (или римановой поверхности). В каждой точке z, такой что f(z) аналитична (т.е. однозначно определена и дифференцируема в некоторой окрестности этой точки) и, отображение конформно, т.е. угол между двумя кривыми, проходящими через точку z, переходит в равный по величине и направлено отсчета угол между двумя соответствующими кривыми в плоскости.

Бесконечно малый треугольник около такой точки z отображается в подобный бесконечно малый треугольник - плоскости; каждая сторона треугольника растягивается в соотношении и поворачивается на угол. Коэффициент искажения (локальное отношение малых площадей) при отображении определяется якобианом отображения

в каждой точке z, где отображение конформно.

Конформное отображение преобразует линии в семейство ортогональных траекторий в w- плоскости.

Область z- плоскости, отображающаяся на всю w-плоскость функцией f(z), называется фундаментальной областью функции f(z).

Точки, где, называются критическими точками отображения.

Отображение, которое сохраняет величину, но не направление отсчета угла между двумя кривыми, называется изогональным или конформным отображением второго рода.

Отображение конформно в бесконечно удаленной точке, если функция конформно отображает начало в - плоскость.

Две кривые пересекаются под углом в точке, если преобразование переводит их в две кривые, пересекающиеся под углом в точке.

Аналогично, конформно отображает точку конформно в точку .

Алгебраические группы матриц

Пусть и --- арифметические линейные пространства столбцов высоты и соответственно. Пусть, далее, --- матрица размера. Определим отображение, полагая для любого где --- столбцы матрицы. Так как они имеют высоту...

Биекторы в конечных группах

Определение. Пусть --- группа и --- класс групп. Если и, то --- -подгруппа группы. Определение. -максимальной подгруппой группы называется такая -подгруппа группы, которая не содержится ни в какой большей -подгруппе. Определение...

Векторные поля

Определение ротора векторного поля: Ротором или вихрем векторного поля называется вектор с проекциями Основные свойства ротора: -- это векторная величина, которая является дифференциальной (т.е. точечной) характеристикой векторного поля...

Внешняя геометрия поверхностей с постоянным типом точек

Седловые поверхности в известном смысле противоположны по своим свойствам выпуклым поверхностям. Как и выпуклые поверхности, они могут быть определены чисто геометрически...

Китайская Теорема об остатках и её следствия

В данном параграфе мы рассмотрим целые числа, а обозначать их будем латинскими буквами. Возьмём произвольное фиксированное натуральное число p и будем рассматривать остатки при делении на р различных целых чисел...

Математические основы системы остаточных классов

Возьмём произвольное фиксированное натуральное число p и будем рассматривать остатки при делении на р различных целых чисел. При рассмотрении свойств этих остатков и проведении операций над ними удобно ввести понятие сравнения по модулю...

Математическое моделирование технических объектов

Модель - это физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта...

Определенный интеграл

1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования: . 2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: 3. Если, то, по определению, полагаем 4...

Практическое применение квадратурных формул с весом Чебышева-Эрмита

Пусть на всей оси задана четная весовая функция. (1.1) Дифференцируя эту функцию последовательно, находим (1.2) По индукции легко доказать, что производная порядка n от функции (1.1) есть произведение этой функции на некоторый многочлен степени n...

Сферическим многоугольником называется часть сферы, ограниченная дугами больших окружностей, меньшими полуокружности, концами которых служат точки пересечения этих больших окружностей, взятых в последовательном порядке...

Решение задачи обтекания кругового цилиндра идеальной жидкостью в кватернионах

Кватернионы были введены в математику Уильямом Роуэном Гамильтоном (William Rowan Hamilton) 1]. Они являются хорошим инструментом для решения многих задач, связанных с трехмерным пространством, и учитывают его особенности...

Статистическое моделирование

Для того чтобы оценка имела практическую ценность, она должна обладать следующими свойствами. 1. Оценка параметра называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т.е. М= .(22.1) Если равенство (22...

Тригонометрические функции

Циклоида

Определение циклоиды, введенное ранее, никогда не удовлетворяло ученых: ведь оно опирается на механические понятия -- скорости, сложения движений и т. д...

Экстремальная задача на индексационных классах

Нам понадобятся два факта из . 1. Для любого существует и единственная ФР. 2. Если, то множество одноэлементно. Если, то существуют непрерывные, однопараметрические семейства (т. е. при и (значок обозначает слабую сходимость)) и ФР такие...

Взаимно однозначное отображение, обладающее свойством сохранения углов по величине и направлению и свойством постоянства растяжений малых окрестностей отображенных точек, называется конформным отображением.

Для обеспечения взаимной однозначности отражения выделяют области однолистности функции. Область D называется областью однолистности функции f(z), если.

Основные свойства конформных отображений:

1) постоянство растяжений. Линейное в точке одинаково для всех кривых, проходящих через эту точку, и равно;

2) сохранение углов. Все кривые в точке поворачиваются на одинаковый угол, равный.

Функция отображает точки z- плоскости (или римановой поверхности). В каждой точке z, такой что f(z) аналитична (т.е. однозначно определена и дифференцируема в некоторой окрестности этой точки) и, отображение конформно, т.е. угол между двумя кривыми, проходящими через точку z, переходит в равный по величине и направлено отсчета угол между двумя соответствующими кривыми в плоскости.

Бесконечно малый треугольник около такой точки z отображается в подобный бесконечно малый треугольник - плоскости; каждая сторона треугольника растягивается в соотношении и поворачивается на угол. Коэффициент искажения (локальное отношение малых площадей) при отображении определяется якобианом отображения

в каждой точке z, где отображение конформно.

Конформное отображение преобразует линии в семейство ортогональных траекторий в w- плоскости.

Область z- плоскости, отображающаяся на всю w-плоскость функцией f(z), называется фундаментальной областью функции f(z).

Точки, где, называются критическими точками отображения.

Отображение, которое сохраняет величину, но не направление отсчета угла между двумя кривыми, называется изогональным или конформным отображением второго рода.

Отображение конформно в бесконечно удаленной точке, если функция конформно отображает начало в - плоскость.

Две кривые пересекаются под углом в точке, если преобразование переводит их в две кривые, пересекающиеся под углом в точке.

Аналогично, конформно отображает точку конформно в точку .

КЛАССИЧЕСКИЕ ПРИМЕРЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Простейшие примеры

Пример 1. С помощью функции отобразить на плоскость прямую.

Преобразуем прямую.Получаем.

Таким образом,

Подставляем в полученные уравнения:

и получаем

Из полученных уравнений исключаем х.

Из уравнения (1) находим х и получаем

Подставляем (3) в уравнение (2):

получаем

Изобразим полученные линии на рисунке 1.

Рисунок 1 Конформное отображение прямой функцией

Ответ: Итак, прямая, расположенная в плоскости хОу, конформно отобразилась в кривую (параболу) расположенную в плоскости

Пример 2. Найти угол поворота и коэффициент искажения масштаба в точке при отображении:

При отображении с помощью функции угол поворота есть,а .

В точке имеем

Ответ: (сжатие).

Пример 3. Найти угол поворота и коэффициент искажения масштаба в точке при отображении:

При отображении с помощью функции угол поворота есть,а коэффициент искажения масштаба в точке равен

В точке имеем

(растяжение).

Ответ: (растяжение).

Пример 4. Найти точки плоскости, в которых равен 1 коэффициент искажения масштаба при отображении:

Коэффициент искажения масштаба в точке равен

Находим производную

Следовательно,

Пример 5. Найти точки плоскости, в которых равен 1 коэффициент искажения масштаба при отображении:

Коэффициент искажения масштаба в точке равен

Находим производную

По условию коэффициент искажения масштаба должен быть равен 1.

Следовательно,

Лекция №4.

Геометрически функция комплексного переменного w=f (z ) задает отображение некоторого множества z – плоскости на некоторое множество w -плоскости. Точка w ÎG называется образом точки z при отображении w=f (z ), точка z ÎD – прообразом точки w .

Если каждому z соответствует лишь одно значение w=f (z ), то функция называется однозначной (w=|z| , w= , w= Rez и т.д.) Если некоторым z соответствует более чем одно значение w , функция называется многозначной (w= Argz ).

Если (т.е. в различных точках области D функция принимает различные значения), то функция w =f (z ) называется однолистной в области D .

Другими словами, однолистная функция w =f (z ) взаимно однозначно отображает область D на G . При однолистном отображении w =f (z ) прообраз любой точки w ÎG состоит из единственного элемента: : . Поэтому z можно рассматривать как функцию от переменной w , определенную на G . Она обозначается и называется обратной функцией .

Если в области D существует, по крайней мере, одна пара точек , то функцию f (z ) называют многолистной в области D .

Если отображение w =f (z ) является многолистным на D (например, w =z n ), то в этом случае некоторым значениям w ÎG соответствует более, чем одна точка z ÎD : f (z )=w . Следовательно, обратное отображение не является однозначным, оно является многозначной функцией.

Однозначная на области D функция w =f (z ) называется ветвью многозначной функции F , если значение f в любой точке z ÎD совпадает с одним из значений F в этой точке.

Для того, чтобы выделить однозначные ветви многозначной функции, поступают следующим образом: область D разбивают на области однолистности функции w =f (z ) так, что никакие две из областей не имеют общих внутренних точек и так, чтобы каждая точка z ÎD принадлежала одной из этих областей или границе некоторых из них. В каждой из этих областей однолистности определяют функцию, обратную к w =f (z ). Она и является однозначной ветвью многозначной функции .

Понятие о конформном отображении

Пример. Найти коэффициент растяжения и угол поворота в точке z =2i при отображении .

■ Находим производную и ее значение в данной точке .

Коэффициент растяжения k равен модулю производной: .

Угол поворота j равен аргументу производной. Точка лежит в четвертой четверти, следовательно, . ■

Пример 3.5. Определить, какая часть плоскости при отображении w =z 2 растягивается, а какая – сжимается.

■ Находим производную w ¢=2z . Коэффициент растяжения в любой точке z равен k =|w ¢(z )|=2|z |. Множество точек комплексной плоскости, для которых k >1, то есть 2|z |>1 или , образует часть плоскости, которая при отображении растягивается. Следовательно, при отображении w =z 2 внешность круга растягивается, а внутренняя часть - сжимается. ■

Отображение w =f (z ) называется конформным (т.е. сохраняет форму) в точке , если оно сохраняет углы между кривыми и обладает свойством постоянства растяжения окрестности точки.

Всякое отображение, устанавливаемое посредством аналитической функции f (z ) является конформным во всех точках, где .

Отображение называется конформным в области , если оно конформно в каждой точке этой области.

Конформное отображение, при котором направление отсчета углов сохраняется, называется конформным отображением Ι рода . Конформное отображение, при котором направление отсчета углов меняется на противоположное, называется конформным отображением ΙΙ рода (например, ).

В теории и практике конформных отображений ставятся и решаются две задачи.

Первая задача заключается в нахождении образа данной линии или области при заданном отображении – прямая задача .

Вторая заключается в нахождении функции, осуществляющей отображение данной линии или области на другую заданную линию или область – обратная задача .

При решении прямой задачи учитывается, что образом точки z 0 при отображении w =f (z ) является точка w 0 , такая, что w 0 =f (z 0), то есть результат подстановки z 0 в f (z ). Поэтому для нахождения образа множества нужно решить систему, состоящую из двух соотношений. Одно из них задает отображающую функцию w =f (z ), другое – уравнение линии, если решается задача нахождения образа линии, или неравенство, определяющее множество точек прообраза, если решается задача отображения областей. В обоих случаях процедура решения сводится к исключению переменной z из двух заданных соотношений.

Правило 3.3. Для нахождения образа линии, заданной уравнением F (x ,y )=0 (или в явном виде y =j (x )), при отображении w =f (z ) необходимо:

1. Выделить действительную и мнимую части функции f (z ): u =Ref (z ), v =Imf (z ).

2. Из системы исключить х и у. Полученное соотношение – уравнение образа данной линии.

Правило 3.4. Для нахождения образа данной линии при отображении w =f (z ) необходимо:

1. Записать уравнение линии в параметрической форме z =z (t ) или в комплексной форме .

2. В зависимости от вида уравнения линии рассмотреть соответствующий случай:

Если линия задана в параметрической форме, подставить выражение z (t ) в w =f (z );

Если линия задана в комплексной форме, то выразить z из w =f (z ), то есть , и . Затем следует подставить z и в уравнении линии. Полученное соотношение – уравнение образа данной линии.

Правило 3.5. Для нахождения образа данной области следует воспользоваться одним из двух способов.

Первый способ.

1. Записать уравнение границы данной области. Найти образ границы заданной области по правилам 3.3 или 3.4.

2. Выбрать произвольную внутреннюю точку заданной области и найти ее образ при данном отображении. Область, которой принадлежит полученная точка, является искомым образом заданной области.

Второй способ.

1. Выразить z из соотношения w =f (z ).

2. Подставить полученное в п.1. выражение в неравенство, определяющее заданную область. Полученное соотношение - искомый образ.

Пример. Найти образ окружности |z |=1 при отображении с помощью функции w =z 2 .

■ 1 способ (по правилу 3.3).

1. Пусть z=x+iy , w=u+iv . Тогда u+iv =x 2 -y 2 +i 2xy . Получаем:

2. Исключим х и у из этих уравнений. Для этого возведем первое и второе уравнения в квадрат и сложим:

u 2 +v 2 =x 4 -2x 2 y 2 +y 4 +2x 2 y 2 = x 4 +2x 2 y 2 +y 4 =(x 2 +y 2) 2 .

Учитывая третье уравнение системы, получаем: u 2 +v 2 =1 или |w | 2 =1, то есть |w |=1. Итак, образом окружности |z |=1 является окружность |w |=1, проходимая дважды. Это следует из того, что поскольку w =z 2 , то Argw =2Argz +2pk . Поэтому когда точка z описывает полную окружность |z |=1, то ее образ описывает окружность |w |=1 дважды.

2 способ (по правилу 3.4).

1. Запишем уравнение единичной окружности в параметрическом виде: z =e it (0£t £2p ).

2. Подставим z =e it в соотношение w =z 2: w=e i 2 t =cos2t +i sin2t . Следовательно, |w | 2 =cos 2 2t +sin 2 2t =1, то есть |w |=1 – уравнение образа. ■

Пример. Найти уравнение образа прямой у=х при отображении w =z 3 .

■ Так как кривая задана в явном виде, то применим правило 3.3.

1. w =z 3 =(x +iy ) 3 =x 3 +3x 2 iy +3x (iy ) 2 +(iy ) 3 =x 3 - 3xy 2 +i (3x 2 y-y 3).

2. В полученную систему подставим у=х : Исключая х из этих уравнений, получим v=-u .

Итак, образом биссектрисы I и III координатных углов системы хОу является биссектриса II и IV координатных углов системы uOv . ■

1. Линейная функция

Линейной функцией называется функция вида

w =az +b , (4.1)

где а , b - комплексные постоянные.

Эта функция определена , . Следовательно, если ,то линейная функция производит конформное отображение всей плоскости комплексного переменного. При этом касательные ко всем кривым поворачиваются на один и тот же угол Arga , а растяжение во всех точках равно . Если a= 1, то , значит, растяжение и поворот отсутствуют. В этом случае получаем w=z+b . Это отображение осуществляет сдвиг всей плоскости на вектор .

В общем случае, переходя к показательной форме записи комплексного числа , получим . Следовательно, линейное отображение является композицией трех геометрических преобразований:

w 1 =rz - подобие с коэффициентом r =|a |;

w 2 =e i j w 1 =rze i j - поворот на угол j =arga вокруг точки О ;

w =w 2 +b =re i j z +b - параллельный перенос на вектор .

Следовательно, отображение w =az +b изменяет линейные размеры любой фигуры плоскости в |a | раз, поворачивает эту фигуру на угол j =arga вокруг начала координат и смещает ее в направлении вектора на его величину.

Линейное отображение обладает круговым свойством, то есть переводит окружности z -плоскости в окружности w -плоскости (и обратно); прямые переводит в прямые.

Пример. Найти образ оси Оу при отображении w =2iz-3i .

■ 1 способ (по правилу 3.4). Уравнение оси выберем в параметрической форме.

1. Так как в действительной форме уравнение оси Oy : x =0, -¥<y <+¥, то в комплексной форме запишется как z=iy , -¥<y <+¥. Это параметрическое уравнение, в качестве параметра выбран у .

2. Подставим z=iy в выражение w =2iz-3i : w =-2y -3i , -¥<y <+¥. Это уравнение образа в параметрической форме (у – параметр). Выделив действительную и мнимую часть, получим уравнение образа в действительной форме: u =-2y , v =-3 или v =-3, -¥<u <+¥. Это есть уравнение прямой в плоскости uOv , параллельной действительной оси.

2 способ . Используем круговое свойство линейного преобразования – образом прямой является прямая. Так как прямая определяется заданием двух точек, то достаточно на оси Оу выбрать любые две точки и найти их образы. Прямая, проходящая через найденные точки, и будет искомой. Выберем точки z 1 =0, z 2 =i , их образы w 1 =-3i , w 2 =-2-3i при отображении лежат на прямой Imw =-3.Следовательно, образом оси Оу является прямая v =-3.

3 способ (геометрический). Из соотношения w =2iz-3i следует, что a =2i , b =-3i , |a |=2, . Значит, заданную прямую (ось Оу ) надо повернуть на угол относительно начала координат, а затем сместить на 3 единицы вниз. Растяжение в 2 раза не меняет геометрического вида исходной линии, так как она проходит через начало координат. ■

Пример. Найти какую-нибудь линейную функцию, отображающую окружность |z-i |=1 на окружность |w- 3|=2.

■ Поставленная задача есть обратная задача теории отображений – по заданному образу и прообразу найти соответствующее отображение. Без дополнительных условий задача не имеет единственного решения. Приведем геометрический способ решения.

1. Переместим центр окружности в начало координат. Для этого применим отображение w 1 =z-i .

2. В плоскости w 1 применим отображение, дающее растяжение в 2 раза, то есть w 2 =2w 1 .

3. Смещаем окружность на 3 единицы вправо: w =w 2 +3. Окончательно получаем: w =2(z-i )+3, w= 2z +3-2i – искомая функция.

Можно выбрать другой порядок выполнения геометрических операций – сделать сначала не смещение, а поворот или растяжение. ■

2. Дробно-линейная функция

Дробно-линейной называется функция вида

где a , b , c , d - комплексные числа, такие что , .

Свойства дробно-линейного преобразования

1° Конформность

Отображение w =L (z ) является конформным во всех конечных точках комплексной плоскости, кроме .

2° Круговое свойство

Образом прямой или окружности при дробно-линейном отображении w =L (z ) является прямая или окружность, (причем образом прямой может быть как окружность, так и прямая, и образом окружности – как прямая, так и окружность). Несложно установить, что при отображении w =L (z ) все прямые и окружности, проходящие через точку переходят в прямые плоскости (w ), а все прямые или окружности, не проходящие через точку d , - в окружности плоскости (w ).

3° Инвариантность двойного отношения

Отношение сохраняется при дробно-линейном отображении, т.е является его инвариантом. Это отношение называется двойным отношением четырех точек . Таким образом, дробно-линейное преобразование однозначно определяется заданием трех точек и их образов: . По этим парам можно найти дробно-линейную функцию по формуле:

Эту формулу можно применять и в случае, когда некоторые из чисел z k и w k обращаются в ¥, если воспользоваться правилом: разность, в которой встречается символ ¥, следует заменить на 1.

4° Сохранение симметрии

Если точки z 1 и z 2 симметричны относительно некоторой прямой или окружности g , то при любом дробно-линейном отображении w =L (z ) их образы w 1 и w 2 будут симметричны относительно образа g : .

Симметрия относительно прямой понимается в обычном смысле.

Точки z и z* называются симметричными относительно окружности |z-z 0 |=R , если они лежат на одном луче, выходящем из центра окружности, и произведение их расстояний от центра окружности равно квадрату ее радиуса, то есть

|z-z 0 |×|z*-z 0 |=R 2 . (4.4)

Точкой, симметричной точке z 0 – центру окружности, очевидно, является бесконечно удаленная точка.

5° Принцип соответствия обхода границ (отображение областей, ограниченных прямыми или окружностями)

Если при дробно-линейном отображении прямая или окружность g переходит в прямую или окружность g¢ ,то область D , которую ограничивает g , преобразуется в одну из двух областей, которые ограничивает g¢ . При этом имеет место принцип соответствия обхода границ: если при каком-то обходе линии g область D оказывается слева (справа), то при соответствующем обходе линии g¢ область D¢ тоже должна оказаться слева (справа).

Пример. Найти дробно-линейную функцию w =L (z ), такую, что w (i )=2i , w (¥)=1, w (-1)=¥.

■ Обозначим z 1 =i , z 2 =¥, z 3 =-1 и w 1 =2i , w 2 =1, w 3 =¥. Применим формулу (4.3), заменяя разности, содержащие z 2 и w 3 на ¥:

Преобразуем: -w-wi+ 2i- 2=wz-wi-z+i Û w (z +1)=z -2+i Û - искомая функция. ■ :w =1 и Imw =0.

2. Теперь в соответствии с п.2. правила 3.5 выберем произвольную точку, например, z =-1ÎD . Ее образом при заданном отображении является , лежащая между прямыми Imw =1 и Imw =0. Следовательно, образом заданной области будет полоса 0< Imw <1. ■

3. Показательная функция

Показательной функцией комплексного переменного z=x+iy называется функция, обозначаемая expz (читается «экспонента z ») и определяемая формулой

Свойства expz

1° Если , то expz =expx =e x , т.е. на действительной оси показательная функция комплексного переменного совпадает с показательной функцией действительного переменного. Поэтому наряду с обозначением expz p , параллельные действительной оси:

Если, например, , то .

8° Показательная функция является аналитической на , (expz )¢=expz.

Пример. Найти действительную, мнимую часть, модуль и главное значение аргумента для числа e 2- i .

■ Используем определение показательной функции комплексного переменного. Пусть z =2-i , x =Rez =2, y =Imz =-1.

Тогда . Следовательно,

Можно также вместо определения использовать теорему сложения и формулу Эйлера (1.7). ■

Отображение w =expz

Основная задача теории конформных отображений - построить конформное отображение заданной области на некоторую заданную область плоскости переменной w.

Непрерывное отображение области 2-мерного евклидова пространства в 2-мерное евклидово пространство называется конформным в точке, если оно в этой точке обладает свойствами постоянства растяжений и сохранения углов. Свойство постоянства растяжений в точке при отображении состоит в том, что отношение расстояния между образами и точек u к расстоянию между и стремится к определенному пределу, когда стремится к произвольным образом; число называется коэффициентом растяжения в точке при рассматриваемом отображении. Свойство сохранения (консерватизма) углов в точке при отображении состоит в том, что любая пара непрерывных кривых, расположенных в и пересекающихся в точке под углом б (т.е. имеющих касательные в точке, образующие между собой угол б), при рассматриваемом отображении переходит в пару непрерывных кривых, пересекающихся в точке под тем же углом б. Непрерывное отображение области называется конформным, если оно конформно в каждой точке этой области.

По определению, конформное отображение области обязано быть непрерывным и конформным лишь во внутренних точках, и если говорят о конформном отображении замкнутой области, то, как правило, имеют в виду непрерывное отображение замкнутой области, конформное в ее внутренних точках.

Конформные отображенияобласти 2-х мерного евклидова пространства в 2-х мерное евклидово пространство удобно рассматривать как отображение области плоскости комплексного переменного в плоскость комплексного переменного; соответственно отображение является комплекснозначной функцией комплексного переменного. При этом если в точке отображение сохраняет углы, то криволинейные углы с вершиной при этом отображении либо сохраняют свою абсолютную величину и знак, либо сохраняют свою абсолютную величину, изменяя знак на противоположный. В первом случае говорят, что отображение в точке является конформным отображением первого рода, во втором - конформным отображением второго рода. Если функция задает конформное отображение второго рода в точке, то комплексно сопряженная функция w= задает конформное отображение первого рода в точке, и наоборот. Поэтому изучаются лишь конформные отображения первого рода, и именно их обычно имеют в виду, когда говорят о конформном отображении, не уточняя их род. Если отображение конформно в точке, то при существует конечный предел отношения, т. е. существует производная. Верно и обратное. Таким образом, если существует то каждый бесконечно малый вектор с началом в точкепри отображении преобразуется с помощью линейной функции т.е. растягивается в раз, поворачивается на угол arg и параллельно сдвигается на вектор.

В теории плоских конформных отображений и ее приложениях принципиальным является вопрос о возможности однолистно и конформно отобразить одну заданную область на другую, а в практических приложениях - вопрос о возможности это сделать посредством сравнительно простых функций. Первую задачу для случая односвязных областей, границы которых не пусты и не вырождаются в точки, решает в положительном смысле теорема Римана о конформном отображении. Вторая задача для некоторых областей специального вида, решается применением элементарных функций комплексного переменного.

Основные принципы теории конформных отображений о отображении одной области на другую

Теорема Римана. Пусть - односвязная область расширенной комплексной плоскости, граница которой содержит не менее двух точек. Тогда:

• 1) существует аналитическая в функция конформно отображающая на единичный круг
• 2) эту функцию можно выбрать так, что будут выполнятся условия

где заданные точки, заданное действительное число. При этом функция условиями (1) определяются однозначно.

Две односвязные области, каждая из которых имеет не менее двух граничных точек, можно конформно отобразить одну на другую. Важным теоретическим положением, характеризующим поведение конформного отображения вблизи границы области, является следующий принцип соответствия границ.

Теорема 1. Пусть и - односвязные области, ограниченные простыми кусочно гладкими контурами и, а функция однолистно и конформно отображает область на область. Тогда:

• 1) функция, имеет непрерывное продолжение на границу области, т.е. ее можно так доопределить в точках контура, что получится функция, непрерывная в замыкании;
• 2) функция, доопределяется на границе, отображает контур взаимно однозначно на контур, причем так, что положительному обходу контура будет соответствовать положительный обход контура.

Теорема 2. Пусть функция аналитична в односвязной области, ограниченной кусочно гладким контуром, и непрерывна в замыкании этой области. Если функция осуществляет взаимно однозначное отображение контура на некоторый простой кусочно гладкий контур, то отображает область конформно и однолистно на область, ограниченную контуром, причем обходу контура в положительном направлении соответствует обход контура также в положительном направлении.

Для доказательства теоремы достаточно показать, что

• 1) для каждой точки существует только единственная такая, что, т.е. функция имеет только один нуль в области;
• 2) для каждой точки не существует точки такой, что т.е. функция не принимает значения ни при каком

Докажем первое утверждение. По условию теоремы функция не обращается в нуль на контуре, т.к. при точка попадает на контур, а лежит в и не может принадлежать. Значит, согласно принципу аргумента, число нулей функции в области равно

Так как точка лежит в области, ограниченной контуром, то, где знак плюс соответствует положительному направлению обхода контура. Отрицательное значение в данном случае невозможно, так как свидетельствует о наличии в области полюсов функции а по условию аналитична в Следовательно, и уравнение в области имеет только одно решение.

Рассмотрим второе утверждение. Если точка расположена во внешности контура, то и уравнение не имеет решений в области А это означает, что всякая внутренняя точка области при конформном и однолистностном отображении переходит во внутреннюю точку области. Что и требовалось доказать.

Замечание 1. Теоремы 1и 2 верны и для областей и расширенной комплексной плоскости, ограниченных простыми кусочно гладкими контурами и.

Теорема 3 (принцип сохранения области) Если функция аналитична в области и не является постоянной, то образ области также является областью.

Для доказательства теоремы требуется показать, что множество линейно связанное и открытое. Так как отображение в силу аналитичности является непрерывным отображением, то образ любого линейно связанного множества при этом отображении является линейно связанным множеством. Следовательно, линейно связанное множество.

Докажем теперь, что открытое множество, т.е. любая точка входит в вместе с некоторой своей окрестностью. Пусть один из прообразов точки. Если, то, согласно теореме об обратной функции, в некоторой окрестности точки определена функция, обратная функция к. Следовательно, все точки этой окрестности являются образами при отображении и она целиком принадлежит. Если, то к этому же выводу приходим, опираясь на теорему (Об обратной функции).

Теорема 4 (принцип максимума модуля). Если функция аналитическая в области, а ее модуль достигает локального максимума в некоторой точке, то постоянна в.

Доказательство проведем методом от противного. Пусть. Для точки выберем произвольную окрестность, целиком принадлежащую области, и предположим, что не является постоянной в рассматриваемой окрестности. Согласно принципу сохранения области, образ круга при отображении является областью. Значит, все точки некоторой окрестности точки являются образами точек круга. В этой окрестности выберем точку, для которой (если, то можно взять

а если, то в качестве можно взять любую точку указанной окрестности). Для этой точки имеем > Поскольку окрестность точки можно выбрать сколь угодно малого радиуса, заключаем, что точка не является точкой локального максимума функции.

Итак, если функция не является постоянной в окрестности точки, то не имеет максимума в точке. Если же достигает максимума в некоторой точке области, то функция постоянна в некоторой окрестности точки, т.е. при. Согласно теореме о единственности аналитической функции, аналитические функции и совпадают в области. Другими словами, функция постоянна в.

Теорема 5. Если функция аналитична в ограниченной области и непрерывна на замыкании этой области, то функция достигает наибольшего значения на границе области.

Действительно, если функция постоянна в, то в силу непрерывности она постоянна в и утверждение теоремы очевидно.

Если же не является постоянной в, то, согласно теореме 4, функция не может достигать наибольшего значения в области, т.к. в противном случае она имела бы в точку локального максимума. Но, будучи непрерывной на замкнутом ограниченном множестве, достигает на этом множестве своего наибольшего значения: это может произойти только на границе области.

Теорема 6. Если функция аналитична в области, не имеет в нулей и ее модуль достигает в локального минимума, то постоянна в этой области.

Теорема 7 (лемма Шварца). Если аналитическая в круге функция удовлетворяет условиям, то и, z. При этом равенство или возможно хотя бы в одной точке z 0 лишь тогда, когда

Доказательство. В силу того, что точка является нулем функции, эту функцию можно представить в виде, где - аналитическая функция в, причем. Рассмотрим круг, ограниченный окружностью Функция аналитична в и непрерывна в. Поэтому, согласно теореме 5, она достигает наибольшего значения на границе. При этом при, так как по условию теоремы. Следовательно, всюду в имеем.

Предположим, что в некоторой точке выполнено неравенство. Выберем r<1 так, что. Тогда и, следовательно, . Получили противоречие, которое показывает, что на самом деле всюду в. В частности, в.

Если, то функция достигает максимума в точке, равного единице. Аналогично равенство означает, что достигает максимума в точке, равного единице. И в том и в другом случае, согласно принципу максимума модуля, функция является постоянной, причем. Следовательно, и.

Теорема 8. Пусть функция гармоническая в ограниченной области и непрерывная в замыкании этой области. Если непостоянна в, то она достигает наибольшего и наименьшего значений только на границе этой области.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки z 0 .

Определение 1. Отображение называется конформным в точке z 0 , если оно обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений в точке z 0 .

Пусть функция f(z) однолистная в конечной области E .

Определение 2. Отображение называется конформным в области E , если оно конформно в каждой точке этой области.

Очевидно, линейная функция (b и a ¹ 0 – комплексные числа) осуществляет конформное отображение всей комплексной плоскости z на комплексную плоскость w. Ради наглядности совместим эти плоскости так, чтобы начала и оси координат совпадали. Тогда в частности w = z + z 0 осуществляет сдвиг всей плоскости на вектор z 0 , (a - действительное) – поворот плоскости вокруг начала координат на угол a, а w = kz (k > 0) – преобразование подобия, k – коэффициент подобия. Записав линейную функцию в виде видим, что ее можно представить как произведение операций сдвига, подобия и вращения. Т. к. при этих операциях свойства сохранения углов и постоянства растяжений очевидны, то это отображение конформно.

Углом между прямыми , проходящими через бесконечно удаленную точку, называют угол между образами этих кривых при отображении в точке w = 0.

Например, оси декартовой системы координат пересекаются в нуле под углом Поскольку на расширенной комплексной плоскости бесконечно удаленная точка одна, то оси пересекаются и в бесконечно удаленной точке При отображении оси координат отображаются сами в себя (плоскости z и w совмещены) и, следовательно, в бесконечно удаленной точке они пересекаются также под углом

Определение 2 распространяют на любую область расширенной комплексной плоскости. Если доопределить линейную функцию, полагая при то можно убедиться, что она конформно отображает расширенную комплексную плоскость z w.

Отметим свойства функции f (z ), которыми она должна обладать, чтобы отображение, осуществляемое ею, было конформным.

Теорема 1. Если функция f (z ) однолистная в области Е расширенной комплексной плоскости и аналитическая всюду за исключением быть может одной точки в которой но то отображение w = f(z) области Е на область G значений функции конформно (без доказательства).

Рассмотрим дробно-линейную функцию При с = 0 она переходит в линейную, рассмотренную выше, поэтому положим с ¹ 0. Дробно-линейная функция однолистная на всей комплексной плоскости, т. к. обратная функция однозначная. Она аналитическая всюду, исключая точку В ней она обращается в бесконечность,

Функция удовлетворяет теореме 1 на всей комплексной плоскости, следовательно, конформна на всей комплексной плоскости. Доопределим функцию, полагая при и при Можно убедиться, что в этом случае дробно линейная функция конформно отображает расширенную комплексную плоскость z на расширенную комплексную плоскость w .

Справедливо и обратное утверждение, если функция конформно отображает расширенную комплексную плоскость z на расширенную комплексную плоскость w , то эта функция дробно-линейная.

Прямую на расширенной комплексной плоскости будем считать окружностью бесконечного радиуса. Можно доказать, что любую окружность на расширенной комплексной плоскости дробно-линейная функция отображает на окружность, а полуплоскость – в круг. При этом всякое дробно-линейное отображение полуплоскости z > 0 на круг имеет вид

где Im z 0 >0, a - действительное.

Рассмотрим функцию

которую называют функцией Жуковского.

Функция (2) определена и однозначна на всей комплексной плоскости (исключая точку z = 0), но не однолистна на ней, т. к. обратная функция неоднозначная. Точки являются точками ветвления.

Найдем область однолистности. Для этого положим, что две различные точки z 1 и z 2 отображаются в одну и ту же точку w . Тогда получим

Таким образом, всякая область, не содержащая ни одной пары точек, удовлетворяющей условию будет областью однолистности функции Жуковского. Этому условию удовлетворяет, например, круг ½z ½< 1 или внешность этого круга ½z ½> 1. В этих областях функция (2) удовлетворяет теореме 1 и, следовательно, отображает эти области конформно.

Найдем область, на которую конформно отображает функция Жуковского круг ½z ½< 1. Положим Подставляя в (2) и отделяя действительную u и мнимую v части, получим

Уравнения (3) есть уравнения эллипса с полуосями

Таким образом, всякая окружность отображается в эллипсе. Из (4) следует, что при r ®1 a ®1, b ®0, т. е. граница круга ½z ½< 1 отображается в дважды пробегаемый отрезок ½u ½£ 1 действительной оси плоскости w . При r ®0 и , следовательно, круг ½z ½< 1 отображается на расширенную комплексную плоскость w с разрезом от точки z = -1 до точки z = 1 (см. рис 6¢).

Аналогично можно убедиться, что и внешность круга ½z ½> 1 отображается функцией Жуковского на расширенную комплексную плоскость с тем же разрезом. Таким образом, функция Жуковского отображает расширенную комплексную плоскость на поверхность Римана, состоящую из двух плоскостей склеенных по разрезу действительной оси от точки z = -1 до точки z = 1.

Основная задача теории конформных отображений заключается в нахождении функции, отображающей одну заданную область на другую заданную область. Достаточно простого алгоритма решения этой задачи не существует, поэтому на практике следует руководствоваться общими условиями существования конформного отображения и общими принципами. Перечислим важнейшие из них. Во-первых, нельзя конформно отобразить многосвязную область на односвязную, а во-вторых, нельзя всю комплексную плоскость конформно отобразить на конечную область. Однако, две произвольные односвязные области, границы которых состоят более, чем из одной точки, всегда можно конформно отобразить друг на друга.

Теорема 2 (принцип соответствия границ). Если функция w = f (z ) конформно отображает одну область на другую, то она взаимно однозначно отображает и границы этих областей (без доказательства).

Справедлива и обратная теорема. Если функция w = f (z ), аналитическая в области Е и непрерывная на ее границе, однозначно отображает эту границу на некоторую кривую Г , то функция f (z ) конформно отображает область Е на область G , границей которой является кривая Г .

Пример. Найти такое конформное отображение верхней полуплоскости с разрезом по мнимой оси от точки z = 0 до точки z = i (см. рис. 7 а) на единичный круг, чтобы точка отобразилась в центр этого круга.

Решение. Разгладим сначала разрез. Т.к. на разрезе точки имеют аргумент p/2, то воспользуемся функцией w 1 = z 2 , поскольку она удваивает аргумент точки. Эта функция аналитическая и однолистная в верхней полуплоскости и поэтому конформно отображает заданную область на плоскость w , с разрезом [-1,¥) (см. рис. б).

Согласно принципу соответствия границ ломаная ABCDA отобразится в разрез ABCDA плоскости w 1 . Обозначения соответственных точек при отображении на рисунках сохранены. Буквой A обозначена бесконечно удаленная точка плоскости z (а также плоскостей w 1 , w 2 и w 3).

Осуществим теперь сдвиг комплексной плоскости w 1 так, чтобы точка С попала в начало координат. Для этого воспользуемся линейным отображением w 2 = w 1 + 1 (см. рис. в).

Затем комплексную плоскость w 2 с разрезом }